Question

【題目】對于函數的定義域為，如果存在區間，同時滿足下列條件：

①在上是單調函數；

②當的定義域為時，值域也是，則稱區間是函數的“區間”.對于函數.

（1）若，求函數在處的切線方程；

（2）若函數在上存在“區間”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1） 若，則，，求出切線斜率，代入點斜式方程，可得答案；
（2） 結合函數存在“區間”的定義，分類討論滿足條件的a的取值范圍，綜合討論結果，可得答案.

解：（1）時，，，

則，

∴函數在處的切線方程為，即；

（2）時，，在區間單調遞增，在區間單調遞減

設函數在上存在“區間”是，

（i）當時，由題意可知，即，

轉化為與在有兩個交點，

設，，

當時，，為增函數，

當時，，為減函數，

所以有，

解得；

（ii）當時，由題意可知，，兩式相減得，，此式不可能成立，所以此時不存在“區間”.

綜上所述，函數在上存在“區間”的的取值范圍是.