Question

已知一列非零向量

an

滿足：

a1

=(x1，y1)，

an

=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（Ⅰ）證明：{|

an

|}是等比數列；
（Ⅱ）求向量

a

n-1與

a

n的夾角(n≥2)；
（Ⅲ）設

a

1=(1，2)，把

a1

，

a2

，…，

an

，…中所有與

a1

共線的向量按原來的順序排成一列，記為

b1

，

b2

，…，

.

bn

，…，令

OB

n=

b1

+

b2

+…+

bn

，0為坐標原點，求點列{B_n}的極限點B的坐標．
（注：若點B_n坐標為(tn，sn)，且

lim

n→∞

tn=t，

lim

n→∞

sn=s，則稱點B(t，s)為點列{Bn}的極限點．）

Answer 1

分析：（I）由于|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

得出

| an |

| a n-1|

=

2

2

為常數，從而證得{|

an

|}是等比數列．
（II）利用向量的數量積得出

a

n-1•

a

n=(xn-1，yn-1)•

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)從而有：cos＜

a

n-1，

a

n＞=

a n-1• a n

| a n-1|| a n|

=

1 2 | a n-1|2

| a n-1|• 2 2 | a n-1|

=

2

2

，即可求得

a

n-1與

a

n的夾角；
（III）先利用數學歸納法易證

b

n=

a

4n-3成立從而得出：

b

n=(-

1

4

)n-1(x1，y1)．結合等比數列的求得公式及數列的極限即可求得點列{B_n}的極限點B的坐標．

解答：解：（I）|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

2

•

x 2 n-1 + y 2 n-1

=

2

2

|

a

n-1|，(n≥2)，首項|

a1

|=

x 2 1 + y 2 1

≠0，

| an |

| a n-1|

=

2

2

為常數，∴{|

an

|}是等比數列．
（II）

a

n-1•

a

n=(xn-1，yn-1)•

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=

1

2

(

x

2 n-1

+

y

2 n-1

)=

1

2

|

a

n-1|2，cos＜

a

n-1，

a

n＞=

a n-1• a n

| a n-1|| a n|

=

1 2 | a n-1|2

| a n-1|• 2 2 | a n-1|

=

2

2

，∴

a

n-1與

a

n的夾角為

π

4

．
（III）

a1

=(x1，y1)，

a2

=

1

2

(x1-y1，x1+y1)，

a3

=

1

4

(-2y1，2x1)=

1

2

(-y1，x1)，

a4

=

1

4

(-y1-x1，-y1+x1)，

a5

=

1

8

(-2x1，-2y1)=-

1

4

(x1，y1)，∴

a1

∥

a5

∥

a9

∥一般地，

b1

=

a1

，

b2

=

a5

，，

bn

=

a

4n-3，
用數學歸納法易證

b

n=

a

4n-3成立∴

b

n=(-

1

4

)n-1(x1，y1)．
設

OBn

=(tn，sn)則tn=[1+(-

1

4

)+(-

1

4

)2+…+(-

1

4

)n-1]x1=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

=

4

5

[1-(-

1

4

)n]，

lim

n→∞

tn=

4

5

；
sn=[1+(-

1

4

)+(-

1

4

)2+…+(-

1

4

)n-1]y1=

1-(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )

•2=

8

5

[1-(-

1

4

)n]，

lim

n→∞

sn=

8

5

，
∴極限點B的坐標為(

4

5

，

8

5

)．

點評：本小題主要考查等比數列的性質、數列的極限、向量的運算等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．