【題目】如圖，直三棱柱
的底面為等邊三角形，
、
分別為
、
的中點，點
在棱
上，且
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）若
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）推導出
平面
，可得出
，結合
，利用線面垂直的判定定理可得出
平面
，再由面面垂直的判定定理可證得結論成立；
（2）由平面得出
，利用勾股定理計算出
的長，然后以點
為坐標原點，
、
、
所在直線分別為
軸、
軸、
軸，建立空間直角坐標系
，利用空間向量法可求出二面角
的余弦值.
（1）因為三棱柱
為直三棱柱，所以
平面
，
平面，
，
因為
為等邊三角形，為
的中點，所以
.
又
，所以平面，
平面，所以.
又因為，
，所以平面.
又因為
平面
，所以平面
平面；
（2）由（1）可知平面，所以.
設
，則有
，即
，得
.
以為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
設平面的法向量為
，
，
，
由
，令
，可得
，
，則
，
因為
平面
，所以平面的一個法向量為
，
，
由圖形可知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節水方案，對居民用水情況進行調查，通過抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照
分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求直方圖的
的值；
（2）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，說明理由.
（3）估計居民月用水量的中位數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為正整數，各項均為正整數的數列
滿足：
，記數列的前
項和為
．
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值；
（3）若
為奇數，求證：“
”的充要條件是“
為奇數”．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市為提升中學生的數學素養，激發學生學習數學的興趣，舉辦了一次“數學文化知識大賽”，分預賽和復賽兩個環節．已知共有8000名學生參加了預賽，現從參加預賽的全體學生中隨機地抽取100人的預賽成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖．
（1）規定預賽成績不低于80分為優良，若從上述樣本中預賽成績不低于60分的學生中隨機地抽取2人，求恰有1人預賽成績優良的概率；
（2）由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預賽學生的預賽成績Z服從正態分布N（μ，σ2），其中μ可近似為樣本中的100名學生預賽成績的平均值（同一組數據用該組區間的中點值代替），且σ2＝362．利用該正態分布，估計全市參加預賽的全體學生中預賽成績不低于91分的人數；
（3）預賽成績不低于91分的學生將參加復賽，復賽規則如下：①每人的復賽初始分均為100分；②參賽學生可在開始答題前自行決定答題數量n，每一題都需要“花”掉（即減去）一定分數來獲取答題資格，規定答第k題時“花”掉的分數為0.1k（k∈(1，2n））；③每答對一題加1.5分，答錯既不加分也不減分；④答完n題后參賽學生的最終分數即為復賽成績．已知學生甲答對每道題的概率均為0.7，且每題答對與否都相互獨立．若學生甲期望獲得最佳的復賽成績，則他的答題數量n應為多少？
（參考數據：
；若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的定義域為D，若存在實常數
及
，對任意
，當
且
時，都有
成立，則稱函數具有性質
.
（1）判斷函數
是否具有性質，并說明理由；
（2）若函數
具有性質，求及
應滿足的條件；
（3）已知函數
不存在零點，當
時具有性質
（其中
，
），記
，求證:數列
為等比數列的充要條件是
或
.
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