【題目】某學校高一、高二、高三三個年級共有
名教師，為調查他們的備課時間情況，通過分層抽樣獲得了
名教師一周的備課時間，數據如下表（單位：小時）.
高一年級 |
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高二年級 |
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高三年級 |
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（1）試估計該校高三年級的教師人數；
（2）從高一年級和高二年級抽出的教師中，各隨機選取一人，高一年級選出的人記為甲，高二年級選出的人記為乙，求該周甲的備課時間不比乙的備課時間長的概率；
（3）再從高一、高二、高三三個年級中各隨機抽取一名教師，他們該周的備課時間分別是
， 
， 
（單位：小時），這三個數據與表格中的數據構成的新樣本的平均數記為
，表格中的數據平均數記為
，試判斷
與
的大小，并說明理由.
【答案】(1)120人；(2) 
；(3)答案見解析.
【解析】分析：抽出的
位教師中，來自高三年級的有
名，根據分層抽樣方法，能求出高三年級的教師共有多少人；（2）從高一、高二年級分別抽取一人，共有
種基本結果，利用列舉法求出該周甲的備課時間不比乙的備課時間長的基本結果種數為
，由古典概型概率公式可得結果；（3）利用平均數公式求出平均數，能判斷
與
的大小.
詳解：（1）抽出的
位教師中，來自高三年級的有
名，
根據分層抽樣方法，高三年級的教師共有
（人）
（2）從高一、高二年級分別抽取一人，共有
種基本結果，該周甲的備課時間不比乙的備課時間長的基本結果有
（3）
,
三組總平均值
.
新加入的三個數
， 
， 
的平均數為
，比
小.
故拉低了平均值.∴
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（1）若在函數
的定義域內存在區間
，使得函數在區間
上為減函數，求實數
的取值范圍；
（2）當
時，若曲線
： 
在點
處的切線
與曲線
有且只有一個公共點，求
的值或取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中，發現其注意力指數p與聽課時間t之間的關系滿足如圖所示的曲線．當t∈(0,14]時，曲線是二次函數圖象的一部分，當t∈[14,40]時，曲線是函數
（
且
）圖象的一部分．根據專家研究，當注意力指數p大于等于80時聽課效果最佳．
(1)試求
的函數關系式；
(2)一道數學難題，講解需要22分鐘，問老師能否經過合理安排在學生聽課效果最佳時講完？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某品牌計算機售后保修期為1年，根據大量的維修記錄資料，這種品牌的計算機在使用一年內需要維修1次的占15%，需要維修2次的占6%，需要維修3次的占4%.
（1）某人購買了一臺這個品牌的計算機，設
=“一年內需要維修k次”，k=0,1,2,3,請填寫下表：
事件 |
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|
|
|
概率 |
事件
是否滿足兩兩互斥？是否滿足等可能性？
（2）求下列事件的概率：
①A=“在1年內需要維修”;
②B=“在1年內不需要維修”；
③C=“在1年內維修不超過1次”.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下面幾個命題中，假命題是（ ）
A. “若
，則
”的否命題
B. “
，函數
在定義域內單調遞增”的否定
C. “
是函數
的一個周期”或“
是函數
的一個周期”
D. “
”是“
”的必要條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將圓
上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的
倍，得曲線
.
寫出的參數方程；
設直線
與的交點為
，以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段
的中點且與
垂直的直線的極坐標方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若一條直線與一個平面垂直，則稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.那么在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是（ ）
A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知三棱錐
(如圖1)的平面展開圖（如圖2）中，四邊形
為邊長等于
的正方形，
和
均為正三角形，在三棱錐中：
（1）證明：平面
平面
；
（2）若點
在棱
上運動，當直線
與平面
所成的角最大時，求二面角
的正切值．
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