Question

（2012•奉賢區二模）數列{a_n} 的各項均為正數，a₁=t，k∈N^*，k≥1，p＞0，a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6pⁿ
（1）當k=1，p=5時，若數列{a_n}是成等比數列，求t的值；
（2）當t=1，k=1時，設T_n=a₁+

a2

p

+

a3

p2

+…+

an-1

pn-1

+

an

pn-1

，參照高二教材書上推導等比數列前n項求和公式的推導方法，求證：數列

1+p

p

Tn-

an

pn

-6n是一個常數；
（3）設數列{a_n}是一個等比數列，求t（用p，k的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）由an+an+1=6•5n，an+1+an+2=6•5n+1，得到等比數列（a_n}的公比q=5，由此能求出t的值．
（2）Tn=a1+

a2

p

+

a3

p2

+…+

an-1

pn-2

+

an

pn-1

，

1

p

Tn=a1+

a1+a2

p

+

a2+a3

p2

+…+

an-1+an

pn-1

+

an

pn

，由此能夠證明

1+p

p

Tn-

an

Pn

-6n=a₁-6=-5．
（3）an+an+1+an+2+…+an+k=6pn，an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1，數列{a_n}是一個等比數列，所以求出公比為p，由此能求出t．

解答：解：（1）an+an+1=6•5n，
an+1+an+2=6•5n+1，…（2分）
設等比數列（a_n}的公比是q，
則an+an+1=6•5n•5，
∴q=5，…（4分）
n=1時，t+5t=30，∴t=5．…（5分）
（2）證明：Tn=a1+

a2

p

+

a3

p2

+…+

an-1

pn-2

+

an

pn-1

，

1

p

Tn=a1+

a1+a2

p

+

a2+a3

p2

+…+

an-1+an

pn-1

+

an

pn

，…（7分）
∴（1+

1

p

）T_n=2a₁+

a1+2a2

p

+

a2+2a3

p2

+…+

an-1+2an

pn-1

+

an

pn

=a1+6n-6+

an

pn

，…（9分）
∴

1+p

p

Tn-

an

Pn

-6n=a₁-6=-5．…（10分）
（3）an+an+1+an+2+…+an+k=6pn，
an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1，…（11分）
數列{a_n}是一個等比數列，所以求出公比為p，…（13分）
∴t（p^n-1+pⁿ+…+p^n+k-1）=6pⁿ，…（15分）
當p=1時，t（k+1）=6，∴t=

6

k+1

，…（16分）
當p≠1，且p＞0時，t

pn-1(1-pk+1)

1-p

=6pⁿ，
∴t=

6p(1-p)

1-pk+1

．…（17分）

點評：本題考查數列的綜合運用，綜合性強，難度大，對數學思維的要求較高，有一定的探索性，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．