Question

（2012•武昌區模擬）（幾何證明）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E，OE交AD于點F．若

AC

AB

=

3

5

，則

AF

FD

的值為

8

5

．

Answer 1

分析：連接OD，BC，設AC=3k，AB=5k，BC=4k，可證OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=4k，然后通過OD∥AE，利用相似比即可求出

AF

FD

的值．

解答：解：連接OD，BC，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又OD∥AE，∴∠OGB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴G為BC的中點，即BG=CG，
又∵

AC

AB

=

3

5

，
∴設AC=3k，AB=5k，根據勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=4k，
∴OB=

1

2

AB=

5k

2

，BG=

1

2

BC=2k，
∴OG=

OB2-BG2

=

3k

2

，
∴DG=OD-OG=

5k

2

-

3k

2

=k，
又四邊形CEDG為矩形，
∴CE=DG=k，
∴AE=AC+CE=3k+k=4k，
而OD∥AE，
∴

AF

FD

=

AE

OD

=

4k

5k 2

=

8

5

．
故答案為：

8

5

．

點評：考查了與圓有關的比例線段，能夠綜合運用勾股定理、相似三角形的判定和性質以及平行線分線段成比例定理，屬于基礎題．