Question

【題目】以表示值域為R的函數組成的集合，表示具有如下性質的函數組成的集合：對于函數，存在一個正數，使得函數的值域包含于區間.例如，當，時，，.現有如下命題：

①設函數的定義域為，則“”的充要條件是“，，”；

②函數的充要條件是有最大值和最小值；

③若函數，的定義域相同，且，，則；

④若函數（，）有最大值，則.

其中的真命題有 .（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

試題若f（x）∈A，則f（x）的值域為R，于是，對任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f（a）＝b，故①正確．

取函數f（x）＝x（－1＜x＜1），其值域為（－1，1），于是，存在M＝1，使得f（x）的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此時f（x）沒有最大值和最小值，故②錯誤．

當f（x）∈A時，由①可知，對任意的b∈R，存在a∈D，使得f（a）＝b，所以，當g（x）∈B時，對于函數f（x）＋g（x），如果存在一個正數M，使得f（x）＋g（x）的值域包含于[－M，M]，那么對于該區間外的某一個b0∈R，一定存在一個a0∈D，使得f（a0）＝b－g（a0），即f（a0）＋g（a0）＝b0[－M，M]，故③正確．

對于f（x）＝aln（x＋2）＋（x＞－2），當a＞0或a＜0時，函數f（x）都沒有最大值．要使得函數f（x）有最大值，只有a＝0，此時f（x）＝（x＞－2）．

易知f（x）∈[－]，所以存在正數M＝，使得f（x）∈[－M，M]，故④正確．