Question

函數f（x）=x-ln（x+1），數列{a_n}，滿足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），數列{b_n}滿足b1=

1

2

，bn+1=

1

2

(n+1)bn，n∈N+，
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求證：0＜a_n+1＜a_n＜1；
（3）若a1=

2

2

且a_n+1＜

an2

2

，則當n≥2時，求證：b_n＞a_n•n!

Answer 1

分析：（1）由已知可得f′（x）=

x

x+1

，利用導數可求得函數f（x）的遞減區間（-1，0），遞增區間（0，+∞）；
（2）先用數學歸納法證明0＜a_n＜1，n∈N^*．再由a_n+1-a_n=-ln（1+a_n）＜0，可得0＜a_n+1＜a_n＜1；
（3）由b1=

1

2

，bn+1=

1

2

(n+1)bn，可得

bn+1

bn

=

n+1

2

，迭乘后可得bn=

1

2n

•n!，結合（2）中結論，可得an＜

1

2n

，進而得到：b_n＞a_n•n!．

解答：解：（1）∵f（x）=x-ln（x+1），x∈（-1，+∞）
∴f′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

∵當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0
∴函數f（x）的遞減區間（-1，0），遞增區間（0，+∞）
證明：（2）先用數學歸納法證明0＜a_n＜1，n∈N^*．
①當n=1時，由已知得結論成立．
②假設n=k時，0＜a_k＜1成立．
則當n=k+1時由（1）可得函數f（x）=x-ln（1+x）在x∈（0，1）上是增函數，
所以f（0）＜f（a_k）＜f（1）=1-ln2＜1，
所以0＜a_k+1＜1，即n=k+1時命題成立，
由①②可得0＜a_n＜1，n∈N^*成立．
又a_n+1-a_n=-ln（1+a_n）＜0，
所以a_n+1＜a_n成立．
所以0＜a_n+1＜a_n＜1
（3）因為b1=

1

2

，bn+1=

1

2

(n+1)bn，所以

bn+1

bn

=

n+1

2

，
所以bn=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

…

b2

b1

=

1

2n

•n!…①
因為an+1＜

a 2 n

2

則

an+1

an

＜

an

2

，所以

an

a1

=

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

＜

a1

2

•

a2

2

…

an-1

2

因為a1=

2

2

，當n≥2時，0＜a_n+1＜a_n＜1，
所以an＜

a1

2

•

a2

2

…

an-1

2

•a1＜

a n 1

2n-1

≤

2 a 2 1

2n

=

1

2n

…②
由①②兩式可知b_n＞a_n•n!

點評：本題考查的知識點是數列與不等式的綜合，數列的函數特性，數列的遞推公式，運算強度大，綜合性強，屬于難題．