【題目】
是邊長為
的等邊三角形，E、F分別為AB、AC的中點，
，沿EF把
折起，使點A翻折到點P的位置，連接PB、PC，則四棱錐
的外接球的表面積的最小值為________，此時四棱錐的體積為________.
【答案】
【解析】
根據(jù)題意，當(dāng)梯形BCEF的外接圓的圓心為四棱錐的外接球的球心時，外接球的半徑最小，易得BC的中點即為梯形的外接圓圓心，也即為四棱錐
的球心，進而求解.
如圖所示：
四邊形BCEF為梯形，則必有外接圓，設(shè)O為梯形BCEF的外接圓的圓心，即為外接球的球心時，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過A作BC的垂線交BC于點M，交EF于點N，連接PM，PN，點O必在AM上，
因為E，F，分別為中點，
所以
，
所以
，即
是直角三角形，
因為
是邊長為
的等邊三角形，E、F分別為AB、AC的中點，
所以
,
所以點M為為梯形BCEF的外接圓的圓心，即點O與點M重合,
所以
，
,
所以四棱錐的高為：
,
所以棱錐的外接球的表面積的最小值為
，
此時四棱錐的體積為
.
故答案為：(1). (2).
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某市為提升中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉辦了一次“數(shù)學(xué)文化知識大賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)．已知共有8000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖．
（1）規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人，求恰有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率；
（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），且σ2＝362．利用該正態(tài)分布，估計全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績不低于91分的人數(shù)；
（3）預(yù)賽成績不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽，復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量n，每一題都需要“花”掉（即減去）一定分?jǐn)?shù)來獲取答題資格，規(guī)定答第k題時“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.1k（k∈(1，2n））；③每答對一題加1.5分，答錯既不加分也不減分；④答完n題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績．已知學(xué)生甲答對每道題的概率均為0.7，且每題答對與否都相互獨立．若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績，則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少？
（參考數(shù)據(jù)：
；若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2a＝2bcosC+csinB．
（Ⅰ）求tanB；
（Ⅱ）若C
，△ABC的面積為6，求BC．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
的定義域為D，若存在實常數(shù)
及
，對任意
，當(dāng)
且
時，都有
成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)
.
（1）判斷函數(shù)
是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2）若函數(shù)
具有性質(zhì)，求及
應(yīng)滿足的條件；
（3）已知函數(shù)
不存在零點，當(dāng)
時具有性質(zhì)
（其中
，
），記
，求證:數(shù)列
為等比數(shù)列的充要條件是
或
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，側(cè)面
為等邊三角形，且垂直于底面
，
，
分別是
的中點.
（1）證明：平面
平面
；
（2）已知點
在棱
上且
，求直線
與平面所成角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
（1）討論
在
上的單調(diào)性.
（2）當(dāng)
時，若在
上的最大值為
，討論：函數(shù)在
內(nèi)的零點個數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=
時，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函數(shù)g（x），f1（x），f2（x），在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱g（x）為f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”．已知函數(shù)
. 
。若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f1（x），f2（x）的“活動函數(shù)”，求a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，
是正方形，點
在以
為直徑的半圓弧上（不與
，
重合），
為線段的中點，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面
平面
.
（1）證明：
平面
.
（2）若
，當(dāng)三棱錐
的體積最大時，求到平面
的距離.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在等腰梯形
中，
，
，
，E，F分別為
，
邊的中點.現(xiàn)將
沿著
折疊到
的位置，使得平面
平面
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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