Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且滿足．

（1）求橢圓的方程；

（2）設傾斜角為的直線與交于，兩點，記的面積為，求取最大值時直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）根據點在橢圓上，且滿足，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、，即可得橢圓的方程；（2）設直線的方程為.

聯立消去，整理得，由韋達定理，利用弦長公式、點到直線距離公式以及三角形的面積公式求得，利用基本不等式可得結果.

（1）設，，根據題意的，

，，

所以，解得，

因為，①

又因為點在橢圓上，所以，②

聯立①②，解得，，

所以橢圓的方程為.

（2）因為直線的傾斜角為45°，所以設直線的方程為.

聯立消去，整理得

因為直線與交于兩點，

所以，解得，.

設，，則

，，

從而，.

又因為點到直線的距離，

所以，

當且僅當，即，即時取等號.

所以的面積的最大值為，

此時直線的方程為或.