Question

【題目】設函數f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）存在極值點x0 ， 且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0 ， 求證：x1+2x0=0；
（3）設a＞0，函數g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區間[﹣1，1]上的最大值不小于 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若f（x）=x3﹣ax﹣b，則f′（x）=3x2﹣a，

分兩種情況討論：

①、當a≤0時，有f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立，

此時f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，+∞），

②、當a＞0時，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x=- 或x= ，

當x＞ 或x＜﹣ 時，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）為增函數，

當﹣ ＜x＜ 時，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）為減函數，

故f（x）的增區間為（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞），減區間為（﹣ ， ）

（2）

解：若f（x）存在極值點x0，則必有a＞0，且x0≠0，

由題意可得，f′（x）=3x2﹣a，則x02= ，

進而f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b，

又f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f（x0），

由題意及（Ⅰ）可得：存在唯一的實數x1，滿足f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，

則有x1=﹣2x0，故有x1+2x0=0；

（3）

解：設g（x）在區間[﹣1，1]上的最大值M，max{x，y}表示x、y兩個數的最大值，

下面分三種情況討論：

①當a≥3時，﹣ ≤﹣1＜1≤ ，

由（I）知f（x）在區間[﹣1，1]上單調遞減，

所以f（x）在區間[﹣1，1]上的取值范圍是[f（1），f（﹣1）]，

因此M=max{|f（1）|，|f（﹣1）|}=max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|}

=max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}= ，

所以M=a﹣1+|b|≥2

②當 a＜3時， ，

由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥ =f（ ），f（1）≤ = ，

所以f（x）在區間[﹣1，1]上的取值范圍是[f（ ），f（﹣ ）]，

因此M=max{|f（ ）|，|f（﹣ ）|}=max{| |，| |}

=max{| |，| |}= ，

③當0＜a＜ 時， ，

由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜ =f（ ），f（1）＞ = ，

所以f（x）在區間[﹣1，1]上的取值范圍是[f（﹣1），f（1）]，

因此M=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=max{|﹣1+a﹣b|，|1﹣a﹣b|}

=max{|1﹣a+b|，|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|＞ ，

綜上所述，當a＞0時，g（x）在區間[﹣1，1]上的最大值不小于

【解析】（1）求出f（x）的導數，討論a≤0時f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；當a＞0時，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間；
（2）由條件判斷出a＞0，且x0≠0，由f′（x0）=0求出x0 ， 分別代入解析式化簡f（x0），f（﹣2x0），化簡整理后可得證；
（3）設g（x）在區間[﹣1，1]上的最大值M，根據極值點與區間的關系對a分三種情況討論，運用f（x）單調性和前兩問的結論，求出g（x）在區間上的取值范圍，利用a的范圍化簡整理后求出M，再利用不等式的性質證明結論成立．
本題考查導數的運用：求單調區間和最值，不等式的證明，注意運用分類討論的思想方法和轉化思想，考查分析法在證明中的應用，以及化簡整理、運算能力，屬于難題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．