Question

如圖所示，已知圓M：（x+1）²+y²=8及定點N（1，0），點P是圓M上一動點，點Q為PN的中點，PM上一點G滿足

GQ

•

NP

=0
（1）求點G的軌跡C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m與曲線C交于A、B兩點，E（0，1），是否存在直線l，使得點N恰為△ABE的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義即可得出；
（2）利用垂心的性質可求出直線AB的斜率，把直線AB的方程與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系及垂心的性質即可求出直線AB的方程，進行判斷即可．

解答：解：（1）由點Q為PN的中點，GQ⊥PN可得：|GP|=|GN|，∴|GM|+|GN|=|MP|=2

2

，而M（-1，0），N（1，0），|MN|=2．
∴|GM|+|GN|＞|MN|，∴點G的軌跡是以點M、N為焦點、2

2

為長軸長的橢圓，其方程為

x2

2

+y2=1．
（2）假設存在，如圖所示：
∵kEN=

1-0

0-1

=-1，EN⊥AB，∴k_AB=1，即k=1，
∴直線l的方程為y=x+m，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

y=x+m x2 2 +y2=1

，消去y化為3x²+4mx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓C相較于不同的A、B兩點，
∴△=16m²-12（2m²-2）＞0，化為-

3

＜m＜

3

．（*）
由根與系數的關系可得：x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．（**）
∵

AN

=（1-x₁，-y₁），

BE

=（-x₂，1-y₂），
∴

AN

•

BE

=x₁x₂-x₂+y₁y₂-y₁，
∵AN⊥BE，∴x₁x₂-x₂+y₁y₂-y₁=0，又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，
∴x₁x₂-x₂+（x₁+m）（x₂+m）-（x₁+m）=0，化為2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m²-m=0，
把（**）代入得

4(m2-1)

3

-

4m(m-1)

3

+m2-m=0，化為3m²+m-4=0，
解得m=-

4

3

或1．
當m=1時，點E與B重合，應舍去．
又m=-

4

3

也滿足（*），故m=-

4

3

．

點評：熟練掌握橢圓的定義、三角形垂心的性質、直線的點斜式、直線方程與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系是解題的關鍵．