Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性并求極值；

（Ⅱ）若點在函數上，當，且時，證明： （是自然對數的底數）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 當時， ， 在上單調遞增，無極值，當時，令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間，根據單調性可得函數的極值；（Ⅱ）由點在函數上，可得，利用導數研究函數的單調性，從而可得，得恒成立，取， ，化簡可得結果.

試題解析：（Ⅰ）由題，得.

當時， ， 在上單調遞增，無極值；

當時，令，得.

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增.

的極小值為，無極大值；

（Ⅱ），代入點， .

.

.

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增.

.

恒成立，

即恒成立.

，令.

.

，即，

.