Question

設橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線l過橢圓左焦點F₁且不與x軸重合，l與橢圓交于P、Q，當l與x軸垂直時，|PQ|=

4

3

，F₂為橢圓的右焦點，M為橢圓T上任意一點，若△F₁MF₂面積的最大值為

2

．
（1）求橢圓T的方程；
（2）直線l繞著F₁旋轉，與圓O：x²+y²=5交于A、B兩點，若|AB|∈（4，

19

）），求△F₂PQ的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可將x=-c代入橢圓方程可得，

c2

a2

+

y2

b2

=1結合c=

a2-b2

可得y=±

b2

a

，從而可求|PQ|，再由△F₁MF₂面積的最大值為

2

可得

1

2

b• 2c=

2

，由方程可求a，b進而可求橢圓方程
（2）設直線L：x=my-1，可求圓心O到直線L的距離d，由圓的性質可知AB=2

r2-d2

=2

5- 1 1+m2

由AB∈[4， 

19

 ]，可求m的范圍，聯立方程組

x=my-1 x2 3 + y2 2 =1

消去x，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則根據方程的根與系數關系可得，y1+y2=

4m

3+2m2

，y1y2=

-4

2m2+3

，代入S=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

，代入整理，結合函數的單調性可求S的范圍

解答：解：（1）由題意可將x=-c代入橢圓方程可得，

c2

a2

+

y2

b2

=1
∵c=

a2-b2

∴

a2-b2

a2

+

y2

b2

=1即y=±

b2

a

∴|PQ|=

2b2

a

=

4

3

①
由已知可得

1

2

b• 2c=

2

②
①②聯立可得a²=3，b²=2
∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1
（2）設直線L：x=my-1即x-my+1=0，圓心O到直線L的距離d=

1

1+m2

由圓的性質可知AB=2

r2-d2

=2

5- 1 1+m2

又AB∈[4， 

19

 ]，則4≤2

5- 1 1+m2

≤

19

∴m²≤3
聯立方程組

x=my-1 x2 3 + y2 2 =1

消去x可得（2m²+3）y²-4my-4=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y1+y2=

4m

3+2m2

，y1y2=

-4

2m2+3

S=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 4m 3+2m2 )2+ 16 3+2m2

=

48(1+m2) (2m2+3)2

=

48 4t+ 1 t +4

（令t=m²+1∈[1，4]）
設f（t）=4t+

1

t

（t∈[1，4]）
則f′(t)=4-

1

t2

＞0對一切t∈[1，4]恒成立
∴f（t）=4t+

1

t

在[1，4]上單調遞增，4t+

1

t

∈[5，

65

4

]
∴S∈[

8 3

9

，

4 3

3

]

點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓方程，點到直線的距離公式，圓的性質的應用，直線與圓錐曲線的相交關系的應用，還要具備一定的邏輯推理與運算的能力．