Question

【題目】已知函數(shù)，既存在極大值，又存在極小值.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，，分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍即可；

（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍即可．

解：（1）由得，

即，

由題意，若存在極大值和極小值，則必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

由得，所以必有一個(gè)非零實(shí)數(shù)根，

∴，，∴且，∴或.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，

此時(shí)，，

依題意得對(duì)任意恒成立，

由于此時(shí)，所以；

所以，即，

設(shè)，，則

，

令，判別式.

①當(dāng)時(shí)，，所以，在單調(diào)遞增，

所以，即，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，，設(shè)的兩根為，，且，

則，，因此，

則當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，即，

所以，矛盾，不合題意；

綜上，的取值范圍是.