Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在單調(diào)遞增，求的值；

（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的最小值為，求函數(shù)的值域．

Answer 1

【答案】（1）．（2）

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，由在單調(diào)遞增，得，即 ，利用分析法，對進(jìn)行分類討論，即可得答案；

（2）利用隱零點(diǎn)法求出函數(shù)最小值為，得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)令，的值域，即可得答案；

（1）．

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以，即

（i）當(dāng)時，，則需，故，即；

（ii）當(dāng)時，，則；

（iii）當(dāng)時，，則需，故，即．

綜上述，．

（2）．

因?yàn)?/span>，所以，所以在單調(diào)遞增

又因?yàn)?/span>，

所以存在，使，

且當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增．

故最小值為．

由，得，因此．

令，則，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．

又因?yàn)?/span>，且，

所以，即取遍的每一個值,

令，

則，

故函數(shù)在單調(diào)遞增．

又，所以，故函數(shù)的值域?yàn)?/span>．