【題目】在四棱柱
中，
平面
，底面是邊長為
的正方形，
與
交于點
，
與
交于點
，且
.
（Ⅰ）證明：
平面
；
（Ⅱ）求
的長度；
（Ⅲ）求直線
與
所成角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
的長度等于
.（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）在以
中，利用中位線定理證明
，再由線面平行的判定定理得證；
（Ⅱ）由已知說明
，
，
兩兩垂直，進而可建立空間直角坐標系，再分別表示點的坐標，即可表示
，
的坐標，由向量垂直的數量積為零構建方程求得答案；
（Ⅲ）由數量積的坐標運算求夾角的余弦值.
（Ⅰ）證明：由已知，四棱柱
中，四邊形
與四邊形
是平行四邊形，所以
，
分別是
，
的中點.
所以中，.
因為
平面
，所以
平面.
（Ⅱ）因為
平面
，
，
所以
平面，所以
，
，
又正方形中
，所以以
為原點，，，分別為
軸，
軸，
軸建立空間直角坐標系.
設
，所以
，
，
，
，
，
.
因為
，所以
，
解得
，所以的長度等于.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
，
，
設直線
與
所成角為
，
所以
.
即直線與所成角的余弦值為.
科學實驗活動冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年席卷全球的新冠肺炎給世界人民帶來了巨大的災難，面對新冠肺炎，早發現、早診斷、早隔離、早治療是有效防控疾病蔓延的重要舉措之一.某社區對
位居民是否患有新冠肺炎疾病進行篩查，先到社區醫務室進行口拭子核酸檢測，檢測結果成陽性者，再到醫院做進一步檢查，己知隨機一人其口拭子核酸檢測結果成陽性的概率為
%，且每個人的口拭子核酸是否呈陽性相互獨立.
（1）假設該疾病患病的概率是
%，且患病者口拭子核酸呈陽性的概率為
%，設這位居民中有一位的口拭子核酸檢測呈陽性，求該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率；
（2）根據經驗，口拭子核酸檢測采用分組檢測法可有效減少工作量，具體操作如下：將位居民分成若干組，先取每組居民的口拭子核酸混在一起進行檢測，若結果顯示陰性，則可斷定本組居民沒有患病，不必再檢測；若結果顯示陽性，則說明本組中至少有一位居民患病，需再逐個進行檢測，現有兩個分組方案：
方案一：將位居民分成
組，每組
人；
方案二：將位居民分成組，每組人；
試分析哪一個方案的工作量更少？
（參考數據：
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,橢圓
：
的左、右焦點分別為
，橢圓上一點
與兩焦點構成的三角形的周長為6,離心率為
，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點
的直線
交橢圓
于
兩點,問在
軸上是否存在定點,使得
為定值？證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的最小正周期為
，其圖象關于直線
對稱．給出下面四個結論：①將
的圖象向右平移
個單位長度后得到函數圖象關于原點對稱；②點
為圖象的一個對稱中心；③
；④在區間
上單調遞增．其中正確的結論為（ ）
A.①②B.②③C.②④D.①④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知A，B是橢圓C：
)的左右頂點，P點為橢圓C上一點，點P關于x軸的對稱點為H，且
（1）若橢圓C經過了圓
的圓心，求橢圓C的標準方程；
（2）在（1）的條件下，拋物線D：
的焦點F與點
關于y軸上某點對稱，且拋物線D與橢圓C在第四象限交于點Q，過點Q作直線與拋物線D有唯一公共點，求該直線與兩坐標軸圍成的三角形面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點P在C上，若PF⊥x軸，且△POF（O為坐標原點）的面積為1.
（1）求拋物線C的方程；
（2）若C上的兩動點A，B（A，B在x軸異側）滿足
，且|FA|+|FB|＝|AB|+2，求|AB|的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，（其中
）的圖象關于點
成中心對稱，且與點
相鄰的一個最低點為
，則對于下列判斷：
①直線
是函數
圖象的一條對稱軸；
②點
是函數的一個對稱中心；
③函數
與
的圖象的所有交點的橫坐標之和為
．
其中所有正確的判斷是（ ）
A.①②B.①③C.②③D.②
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