Question

【題目】定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為，已知函數(shù)，則（ ）

A.是的一個(gè)“完美區(qū)間”

B.是的一個(gè)“完美區(qū)間”

C.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為

D.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為

Answer 1

【答案】AC

【解析】

根據(jù)定義，當(dāng)時(shí)求得的值域，即可判斷A；對(duì)于B，結(jié)合函數(shù)值域特點(diǎn)即可判斷；對(duì)于C、D，討論與兩種情況，分別結(jié)合定義求得“復(fù)區(qū)間長度”，即可判斷選項(xiàng).

對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則其值域?yàn)?/span>，滿足定義域與值域的范圍相同，因而滿足“完美區(qū)間”定義，所以A正確；

對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)，所以其值域?yàn)?/span>，而，所以不存在定義域與值域范圍相同情況，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由定義域?yàn)?/span>，可知，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，

則滿足，化簡可得，

即，所以或，

解得（舍）或，

由解得或（舍），

所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足原方程組，所以此時(shí)完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長度”為；

當(dāng)時(shí)，①若，則，此時(shí).當(dāng)在的值域?yàn)?/span>，則，因?yàn)?/span> ，所以，即滿足，解得，（舍）.所以此時(shí)完美區(qū)間為，則“復(fù)區(qū)間長度”為；

②若，則，，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增，若的值域?yàn)?/span>，則，則為方程的兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根，

解得，， 所以，與矛盾，所以此時(shí)不存在完美區(qū)間.

綜上可知，函數(shù)的“復(fù)區(qū)間長度”的和為，所以C正確，D錯(cuò)誤；

故選：AC.