Question

【題目】記拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，，斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求的最小值；

（2）若，直線的斜率都存在，且；探究：直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線l過(guò)定點(diǎn)

【解析】

(1) 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為,利用拋物線的定義可得.

(2) 設(shè)直線的方程為， ；將直線與拋物線的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理及變形可得或,將代入直線,可得直線必過(guò)定點(diǎn).

（1）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為

如圖:

則

即的最小值為；

（2）設(shè)直線的方程為， ；

將直線與拋物線的方程聯(lián)立得 ，

①

又

即

將①代入得， ，

即，得或

當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線恒過(guò)；

當(dāng)時(shí)，直線為，此時(shí)直線恒過(guò)（舍去）；

綜上所述，直線l過(guò)定點(diǎn)