Question

已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

，且過拋物線C：x²=4y的焦點F．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過坐標平面上的點F'作拋物線c的兩條切線l₁和l₂，它們分別交拋物線C的另一條切線l₃于A，B兩點．
（i）若點F′恰好是點F關于-軸的對稱點，且l₃與拋物線c的切點恰好為拋物線的頂點（如圖），求證：△ABF′的外接圓過點F；
（ii）試探究：若改變點F′的位置，或切線l₃的位置，或拋物線C的開口大小，（i）中的結論是否仍然成立？由此給出一個使（i）中的結論成立的命題，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）根據橢圓的離心率為

3

2

，可得，

c

a

=

3

2

，根據橢圓過拋物線C：x²=4y的焦點F．可知點F（0，1）滿足橢圓方程，再根據a²=b²+c²，即可求出a，b，c，得出橢圓方程．
（II）（i）只要能求出△ABF′的外接圓方程，再驗證點F是否在圓上，命題就得證．可先求出三條切線方程，分別聯立，求三條切線交點，再利用待定系數法求△ABF′的外接圓方程，最后，把F點坐標代入，看是否滿足方程即可．
（ii）命題可寫出幾個，選最好證明的寫，不妨寫成：設F^′為拋物線外一點，若過點F'作拋物線c的兩條切線l₁和l₂，分別交拋物線C的另一條切線l₃于A，B兩點，則：△ABF′的外接圓過拋物線的焦點F．仿照（i），把三條切線方程設出，分別聯立，求三個交點坐標，再證，F^′，A，B，F四點共圓，來證明命題．

解答：解：（I）由已知得F（0，1），設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則，b=1
橢圓的離心率為

3

2

，可得，

c

a

=

3

2

，又∵a²=b²+c²，∴a=2，c=

3

∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1
（II）（i）依題意，點F^′的坐標為（0，-1），過點F'且與拋物線c相切的直線斜率存在，
設其方程為y=kx-1．代入拋物線方程，消y，得x2-4kx+4=0，令△=0，得k=±1
則切線l₁和l₂方程分別為y=x-1和y=-x-1，又∵且l₃與拋物線c的切點恰好為拋物線的頂點．
∴l₃的方程為y=0．
由

y=x-1 y=0

，得點A坐標為（1，0）
由

y=-x-1 y=0

，得點B坐標為（-1，0）
設△ABF^′′的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+4F=0，則

1+D+F=0 1-D+F=0 1-E+F=0

，解得

D=0 E=0 F=-1

∴設△ABF^′′的外接圓方程為x²+y²=1
：△ABF′的外接圓過拋物線的焦點F．
（ii）使（i）中的結論成立的命題為：設F^′為拋物線外一點，若過點F'作拋物線c的兩條切線l₁和l₂，分別交拋物線C的另一條切線l₃于A，B兩點，則△ABF′的外接圓過拋物線的焦點F．
證明：不妨設拋物線方程為x²=2py，l_i分別與拋物線交于點P_i（x_i，y_i）（i=1，2，3）
依題意，x₁，x₂，x₃中至少有兩個不為0，不妨設x₁≠0，x₂≠0．
∵y′=

x

p

故切線l_i的方程為y-y_i=

xi

p

（x-x_i），i=1，2，3
由

y-y1= x1 p (x-x1 ) y-y2= x2 p (x-x2)

，得F^′（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

）
 由 

y-y1= x1 p (x-x1 ) y-y3= x2 p (x-x3)

   得A（  

x1+x3

2

，

x1x3

2p

）                  
   

y-y2= x1 p (x-x2 ) y-y3= x2 p (x-x3)

，得B（  

x1+x3

2

，

x1x3

2p

）
∴AF^′的垂直平分線方程為y-

x1x2+x1x3

4p

=-

p

x1

（x-

2x1+x2+x3

4

），
    BF^′ 的垂直平分線方程為 y-

x1x2+x2x3

4p

=-

p

x2

（x-

x1+2x2+x3

4

）
它們的交點為M（

x1+x2+x3

4

-

x1x2x3

4p2

，

x1x2+x2x3+x1x3+p2

4p

）
又∵F（0，

p

2

），AF的中點為N（

x1+x3

4

，

x1x3+p2

4p

）
從而  

FA

=（ 

x1+x3

2

，

x1x3-p2

2p

），

NM

=（ 

x2

4

- 

x1x2x3

4p2

，

x1x2+x2x3

4p

）
 

FA

•

NM

=

x1+x3

2

（

x2

4

-

x1x2x3

4p2

）+

x1x3-p2

2p

•

x1x2+x2x3

4p

=0  
∴

FA

⊥

NM

，∴AF^′，BF^′AF的垂直平分線教育一點M圓上，即△ABF′的外接圓過拋物線的焦點F．

點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，題目較難，須認真考慮．