Question

（2005•上海模擬）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分
過直角坐標平面xOy中的拋物線y²?2px （p＞0）的焦點F作一條傾斜角為

π

4

的直線與拋物線相交于A、B兩點．
（1）用p表示A、B之間的距離并寫出以AB為直徑的圓C方程；
（2）若圓C于y軸交于M、N兩點，寫出M、N的坐標，證明∠MFN的大小是與p無關的定值，并求出這個值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的拋物線的方程寫出拋物線的焦點坐標，又有所給的直線的傾斜角得到這條直線的斜率，由點斜式寫出直線的方程，要求兩點之間的距離，首先要把直線與拋物線方程聯立，整理出關于x的方程，根據根和系數之間的關系，和拋物線的定義，寫出結果．
（2）由（1）得：圓C方程：（x-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，令x=0得到圓與y軸的交點坐標，利用到角公式求出∠MFN的正切值tan∠MFN，它是一與p無關的定值，并求出這個值即可．

解答：解：（1）焦點F（

p

2

，0），過拋物線的焦點且傾斜角為

π

4

的直線方程是 y=x-

p

2

由

y2=2px y=x- p 2

⇒x2-3px+

p2

4

=0⇒xA+xB=3p，xAxB=

p2

4

⇒|AB|=x_A+x_B+p=4p，
AB的中點坐標為C（

3p

2

，p），以AB為直徑的圓C的半徑為：2p，
∴以AB為直徑的圓C方程：（x-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，
（2）由（1）得：圓C方程：（x-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，
令x=0得：（0-

3p

2

）²+（y-p）²=4p²，⇒y_M=

7 +1

2

p，y_N=

- 7 +1

2

p，
∴tan∠MFN=

tan∠MFO+tan∠OFN

1-tan∠MFO•tan∠OFN

=

7 +1 2 p p 2 +  7 -1 2 p p 2

1- 7 -1 2 p p 2 • 7 +1 2 p p 2

=-

7

5

（定值）．
∴∠MFN=π-arctan

7

5

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線之間的關系，實際上這種問題在解題時考慮的解題方法類似，都需要通過方程聯立來解決問題，注意本題中拋物線還有本身的特點，注意使用，屬中檔題．