Question

下列命題：
①函數f（x）=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②已知向量

a

=(λ，1)，

b

=(-1，λ2)，

c

(-1，1)，則(

a

+

b

)∥

c

的充要條件是λ=-1；
③若

∫

a 1

1

x

dx=1(a＞1)，則a=e；
④圓x²+y²=4關于直線ax+by+c=0對稱的充分不必要條件是c=0．
其中所有的真命題是（　　）

A．①②

B．③④

C．②④

D．①③

Answer 1

分析：先化簡表達式，變成一個角的三角函數，再根據公式求出周期，判斷①的正誤；通過向量的平行，求出彩涂卷，判斷②的正誤；利用積分運算求出a值判斷③的正誤；利用圓心在直線上判斷④的正誤；

解答：解：對于①∵f（x）=sin⁴x-cos⁴x=（cos²x+sin²x）（sin²x-cos²x）=sin²x-cos²x=-cos2x，
∴f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π，所以①正確．
對于②∵向量

a

=(λ，1)，

b

=(-1，λ2)，

c

(-1，1)，∴

a

+

b

=（λ-1，1+λ²），
∴(

a

+

b

)∥

c

⇒（λ-1）+（1+λ²）=0⇒λ=0或λ=-1；
λ=-1⇒

a

+

b

=（-2，2）⇒（

a

+

b

）∥

c

，
∴（

a

+

b

）∥

c

的充分不必要條件是λ=-1．故命題是假命題；
對于③，

∫

a 1

1

x

dx=1(a＞1)，轉化為：ln

x|

a 1

=1，解得a=e，③正確；
對于④，圓x²+y²=4關于直線ax+by+c=0對稱的充要條件是：圓的圓心坐標在直線方程⇒c=0，④不正確．
正確命題是①③．
故選D．

點評：本題考查命題的真假的判斷，考查三角函數的周期，向量共線，定積分以及直線與圓的位置關系，考查基本知識的應用．