Question

(12分) 如圖，設(shè)P是圓x²＋y²＝25上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且MD＝PD.

（Ⅰ）當(dāng)P在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度．

Answer 1

(1)＋＝1.(2)AB＝.

解析試題分析：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(x_P，y_P)，然后利用MD＝PD,把P點(diǎn)坐標(biāo)用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，代入圓的方程即可得到動點(diǎn)M的軌跡方程.
(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(x_P，y_P)，
由已知得　∵P在圓上，
∴x²＋(y)²＝25，
即軌跡C的方程為＋＝1.
(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y＝ (x－3)，
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，將直線方程y＝ (x－3)代入C的方程，
得＋＝1，即x²－3x－8＝0.
∴x₁＝，x₂＝.
∴線段AB的長度為
AB＝
＝
＝＝.
考點(diǎn)：求軌跡方程，圓和橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，兩曲線的交點(diǎn).
點(diǎn)評：本小題屬于相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程要把主動點(diǎn)的坐標(biāo)用被動點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，然后再代入主動點(diǎn)所在曲線的方程即可求出動點(diǎn)的軌跡方程.在涉及直線與橢圓相交求弦長時要借助韋達(dá)定理及弦長公式，一般不考慮求交點(diǎn)坐標(biāo).