Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時,（i）求曲線在點處的切線方程;

（ii）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若,求證: .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（i），（ii）遞增區間是,遞減區間是；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）（i）求出,求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（ii）分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（Ⅱ）先利用導數證明,則，再利用二次函數的性質證明，則，從而可得結論.

試題解析：（Ⅰ）當時, ,定義域為

（i）

所以切點坐標為,切線斜率為

所以切線方程為

（ii）令,

所以在上單調遞減,且

所以當時, 即

所以當時, 即

綜上所述, 的單調遞增區間是,單調遞減區間是.

(Ⅱ)方法一:

,即

設

設

所以在小于零恒成立

即在上單調遞減

因為

所以,

所以在上必存在一個使得

即

所以當時, , 單調遞增

當時, , 單調遞減

所以

因為

所以

令得

因為,所以,

因為,所以恒成立

即恒成立

綜上所述,當時,

方法二:

定義域

為了證明,即

只需證明,即

令

則

令,得

令,得

所以在上單調遞增,在上單調遞減

所以

即,則

令

因為,所以

所以恒成立

即

所以

綜上所述,

即當時, .

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.