Question

蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f（n）表示第n幅圖的蜂巢總數．
（1）試給出f（4），f（5）的值，并求f（n）的表達式（不要求證明）；
（2）證明：

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）根據圖象的規律可得f（4）和f（5）的值．根據相鄰兩項的差的規律可分析得出f（n）-f（n-1）=6（n-1），進而根據合并求和的方法求得f（n）的表達式
（2）根據（1）中求得的f（n）可得

1

f(n)

的表達式，進而利用裂項的方法證明原式．

解答：解：（1）f（4）=37，f（5）=61．
由于f（2）-f（1）=7-1=6，
f（3）-f（2）=19-7=2×6，
f（4）-f（3）=37-19=3×6，
f（5）-f（4）=61-37=4×6，
因此，當n≥2時，有f（n）-f（n-1）=6（n-1），
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n²-3n+1．
又f（1）=1=3×1²-3×1+1，所以f（n）=3n²-3n+1．
（2）當k≥2時，

1

f(k)

=

1

3k2-3k+1

＜

1

3k2-3k

=

1

3

(

1

k-1

-

1

k

)．
所以

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

++

1

f(n)

＜1+

1

3

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n-1

-

1

n

)=1+

1

3

(1-

1

n

)＜1+

1

3

=

4

3

．

點評：本題主要考查了數列的求和問題．數列的求和是數列的重要內容之一，出等差數列和等比數列外，大部分的數列求和都需要一定的技巧，如裂項法、倒序相加，錯位相減，分組求和等．