Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體．

（Ⅰ）求證：AB⊥平面ADC；

（Ⅱ）若AD＝2，直線CA與平面ABD所成角的正弦值為，求二面角E－AD－C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）有平面平面，證得，再根據線面垂直的判定定理，即可作出證明；

（Ⅱ）現證得為直線與平面所成的角，在中，得到的值，即可求解，建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求解二面角的大小.

試題分析：（Ⅰ）證明：因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

　又DC⊥BD所以DC⊥平面ABD，所以DC⊥AB，

又AD⊥AB ，所以AB⊥平面ADC

（Ⅱ）因CD⊥平面ABD，所以∠CAD為直線CA與平面ABD所成的角，

　CD⊥平面ABD所以CD⊥AD

則

則，依題意得　所以，

即，所以

取BD的中點O，連結AO，EO，因為，∴AO⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD

如圖所示建立空間直角坐標系，

則， ， ， ， ，

由（1）可知AB⊥平面ADC，則平面ADC的法向量，

設平面ADE的法向量， ， ，

則，即，令，得， 　

所以，所以， ，由圖可知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為．