Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在處的切線方程；

（2）求證：；

（3）求證：有且僅有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求出，即可求出切線的點斜式方程，整理可得切線方程為；

（2）根據(jù)圖像與切線關系，先證，再證，通過構造函數(shù)，，用導數(shù)法求出即可；

（3）對再求導，可得在上單調(diào)遞增，再由零點存在性定理，可得存在唯一的，使得，進而求出的單調(diào)區(qū)間，再由，即可證明結論.

（1），，，

故在處的切線方程為；

（2）先證.令，

，設

，故在上單調(diào)遞增，

因為，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

為的極小值也是最小值，

故，故成立；

再證.

令，，

令得，故在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，是的極小值也是最小值，

故，故成立.

綜上知成立.

（3），

設

，

故在上單調(diào)遞增，

因，，

故根據(jù)函數(shù)零點存在性定理知存在唯一的，使得，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因為，故在上存在一個零點0；且

又因為，

故存在唯一使得，

因此有且僅有兩個零點.