Question

【題目】若數列滿足：對于任意，均為數列中的項，則稱數列為“數列”．

（1）若數列的前項和，，試判斷數列是否為“數列”？說明理由；

（2）若公差為的等差數列為“數列”，求的取值范圍；

（3）若數列為“數列”，，且對于任意，均有，求數列的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）不是，見解析（2）（3）

【解析】

（1）利用遞推關系求出數列的通項公式，進一步驗證時，是否為數列中的項，即可得答案；

（2）由題意得，再對公差進行分類討論，即可得答案；

（3）由題意得數列為等差數列，設數列的公差為，再根據不等式得到公差的值，即可得答案；

（1）當時，

又，所以．

所以

當時，，而，

所以時，不是數列中的項，故數列不是為“數列”

（2）因為數列是公差為的等差數列，

所以．

因為數列為“數列”

所以任意，存在，使得，即有．

①若，則只需，使得，從而得是數列中的項．

②若，則．此時，當時，不為正整數，所以不符合題意．綜上，．

（3）由題意，所以，

又因為，且數列為“數列”，

所以，即，所以數列為等差數列．

設數列的公差為，則有，

由，得，

整理得，①

．②

若，取正整數，

則當時，，

與①式對應任意恒成立相矛盾，因此．

同樣根據②式可得，

所以．又，所以．

經檢驗當時，①②兩式對應任意恒成立，

所以數列的通項公式為．