Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）若，求函數的單調區間；

（Ⅱ）設.若在上恒成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出函數的定義域以及導數，利用導數可求出該函數的單調遞增區間和單調遞減區間；

（Ⅱ）由題意可知在上恒成立，分和兩種情況討論，在時，構造函數，利用導數證明出在上恒成立；在時，經過分析得出，然后構造函數，利用導數證明出在上恒成立，由此得出，進而可得出實數的最大值.

（Ⅰ）函數的定義域為.

當時，.

令，解得（舍去），.

當時，，所以，函數在上單調遞減；

當時，，所以，函數在上單調遞增.

因此，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

（Ⅱ）由題意，可知在上恒成立.

（i）若，，，

，

構造函數，，則，

，，.

又，在上恒成立.

所以，函數在上單調遞增，

當時，在上恒成立.

（ii）若，構造函數，.

，所以，函數在上單調遞增.

恒成立，即，，即.

由題意，知在上恒成立.

在上恒成立.

由（Ⅰ）可知，

又，當，即時，函數在上單調遞減，

，不合題意，，即.

此時

構造函數，.

，

，，

，

恒成立，所以，函數在上單調遞增，恒成立.

綜上，實數的最大值為