Question

【題目】設(shè)

（1）證明:當時，；

（2）當時，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式可得，構(gòu)造函數(shù)，求得并令，由導(dǎo)函數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.

（2）對函數(shù)求導(dǎo)，變形后討論當時的函數(shù)單調(diào)情況：當時，可知滿足題意；將不等式化簡后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗的符號，即可確定整數(shù)的最大值；當時不滿足題意，因為求整數(shù)的最大值，所以時無需再討論.

（1）證明：當時代入可得，

令，，

則，

令解得，

當時，所以在單調(diào)遞增，

當時，所以在單調(diào)遞減，

所以，

則，即成立.

（2）函數(shù)

則，

若時，當時，，則在時單調(diào)遞減，所以，即當時成立；

所以此時需滿足的整數(shù)解即可，

將不等式化簡可得，

令

則

令解得，

當時，即在內(nèi)單調(diào)遞減，

當時，即在內(nèi)單調(diào)遞增，

所以當時取得最小值，

則，

，

，

所以此時滿足的整數(shù) 的最大值為；

當時，在時，此時，與題意矛盾，所以不成立.

因為求整數(shù)的最大值，所以時無需再討論，

綜上所述，當時，整數(shù)的最大值為.