Question

設x，y∈R，i，j為直角坐標平面內x，y軸正方向上的單位向量，若a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj，|a|+|b|=4．
（I）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（II）過點（0，m）作直線l與曲線C交于A，B兩點，若|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將兩向量的模用坐標表示出來，探究發現點M到兩個定點之間的距離和為4，符合橢圓的定義．用定義法寫出其標準方程即可．
（2）由|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

知以

OA

，

OB

為鄰邊的四邊形是矩形．故可得∵

OA

⊥

OB

，將此關系轉移成用坐標表示的方程，將此方程轉化成關于m的不等式，即可解出m的取值范圍．

解答：解：（I）∵a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj
又|a|+|b|=4
∴

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=4
∴點M（x，y）的軌跡C是以（-1，0）、（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1（5分）
（II）若|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，，則以

OA

，

OB

為鄰邊的平行四邊形是矩形
設直線l的方程為y=kx+m，l與C的交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∵

OA

⊥

OB

∴x₁x₂+y₁y₂=0    （*）
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
∵x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

①
y₁y₂=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
∴y1y2=

3m2-12k2

3+4k2

②
將①②代入（*）得7m²-12-12k²=0
∵12k²=7m²-12，k²≥0
∴7m²-12≥0
∴m2≥

12

7

③
又△＞0，得12k²-3m²+9＞0
∴7m²-12-3m²+9＞0
∴m2＞

3

4

④
由③④得m2≥

12

7

∴m≤-

2 21

7

或m≥

2 21

7

（13分）

點評：本題考查向量與圓錐曲線相接合的題，其特征一般是用向量的方法來給出題設條件，然后再利用圓錐曲線的相關知識來時行計算，此類題一般運算量較大，符號運算對，題目難度較大．