Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素，求的值；

（3）設(shè)，若在內(nèi)是減函數(shù)，對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

（1）將不等式轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不等式，解不等式，即可.

（2）方程變形整理為， 分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程解集中恰有一個(gè)元素，則需，求解即可.

（3）根據(jù)在內(nèi)是減函數(shù)，確定在區(qū)間上的最大值與最小值，，再根據(jù)最大值與最小值的差不超過(guò)，得不等式，對(duì)任意成立，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)在的最小值大于等于，解不等式，即可.

（1）由得，，解得

（2）方程的解集中恰有一個(gè)元素，

等價(jià)于方程僅有一個(gè)解，即方程僅有一個(gè)解，

當(dāng)時(shí)，，符合題意；

當(dāng)時(shí)，若使得方程僅有一個(gè)解，則需，解得

綜上：或.

(3)因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為與，

則，

即，對(duì)任意成立.

因?yàn)?/span>，對(duì)稱(chēng)軸,

所以關(guān)于的二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以時(shí)， ，

則，得.

所以的取值范圍為.