Question

【題目】已知函數為奇函數，且的極小值為.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）若過點可作三條不同的直線與曲線相切，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據題意可得，代入表達式可得，從而可得，求導函數令，求出極值點，再利用導數判斷函數的單調性，進而確定的極小值為，由即可求解.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，設點是曲線的切點，利用導數的幾何意義求出切線方程，將點代入切線方程得，設，只要使函數有3個零點即可，利用導數與函數單調性的關系可得，解不等式組即可.

（Ⅰ）因為是奇函數，所以恒成立，則.

所以，所以，

則

令，解得或.

當時，，當時，.

在單調遞減，在單調遞增，所以的極小值為，

由，解得，

所以，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

設點是曲線的切點，則在點處的切線的方程為即

因為其過點，所以，，

由于有三條切線，所以方程應有3個實根，

設，只要使曲線有3個零點即可.

設，∴或分別為的極值點，

當和時，在和上單調遞增，

當時，在上單調遞減，

所以，為極大值點，為極小值點.

所以要使曲線與軸有3個交點，當且僅當，即，

解得.

即實數的取值范圍為.