Question

【題目】已知對數(shù)函數(shù)過定點（其中），函數(shù)（其中為的導(dǎo)函數(shù)，，為常數(shù)）

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若對有恒成立，且在（）處的導(dǎo)數(shù)相等，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）證明見解析

【解析】

(1)求出的解析式,得到,利用分類討論法研究的單調(diào)性;

(2)根據(jù)(1)可知,得到和的解析式,利用求得,結(jié)合基本不等式得到,令,則可換元為,最后利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得證.

(1)令(且),將定點代入解得,

所以,,

所以,(),

當(dāng)時,在時恒成立,即在單調(diào)遞減;

當(dāng)時,,

即在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;

綜上所述:當(dāng)時,在單調(diào)遞減;

當(dāng)時在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.

(2)因為,而有恒成立,

所以,

由(1)知必有,

∴,,

,

設(shè),即,∴,

,

∴,

令,,

∴(),

∴在上單調(diào)遞增,

∴,即.