Question

【題目】記拋物線的焦點為，點在拋物線上，，斜率為的直線與拋物線交于兩點.

（1）求的最小值；

（2）若，直線的斜率都存在，且；探究：直線是否過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線l過定點

【解析】

(1) 設拋物線的準線為，過點作，垂足為，過點作，垂足為,利用拋物線的定義可得.

(2) 設直線的方程為， ；將直線與拋物線的方程聯立,利用韋達定理及變形可得或,將代入直線,可得直線必過定點.

（1）設拋物線的準線為，過點作，垂足為，

過點作，垂足為

如圖:

則

即的最小值為；

（2）設直線的方程為， ；

將直線與拋物線的方程聯立得 ，

①

又

即

將①代入得， ，

即，得或

當時，直線為，此時直線恒過；

當時，直線為，此時直線恒過（舍去）；

綜上所述，直線l過定點