Question

【題目】已知雙曲線與圓在第一象限交點為，曲線.

（1）若，求b；

（2）若，與x軸交點是，P是曲線上一點，且在第一象限，并滿足，求∠；

（3）過點且斜率為的直線交曲線于M、N兩點，用b的代數式表示，并求出的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）；.

【解析】

（1）根據雙曲線和圓的方程，將點的坐標代入，得到方程組，求得的值；

（2）方法一：結合雙曲線的定義，得到的三邊長，利用余弦定理求解；

方法二：根據，和雙曲線的方程，聯立方程組，求得的坐標，進而利用向量的坐標運算和向量的夾角余弦值公式求解；

（3）根據直線的方程，判定是圓的切線，切點為，并利用直線的方程與圓的方程聯立求得的坐標，注意到直線與雙曲線的斜率為負值的漸近線平行，利用數形結合思想，可得只有當時，直線才能與曲線有兩個交點，然后聯立圓和雙曲線的方程，求得的縱坐標關于的函數表達式，進而解不等式求得，最后利用向量的數量積的運算得到的取值范圍.

（1）若，因為點A為曲線與曲線的交點，

∵，解得，

∴ ；

（2）方法一：由題意易得為曲線的兩焦點，因為∴,

又∵P在第一象限，由雙曲線定義知：，

，∴，

又∵，∴,

在中由余弦定理可得：

；

方法二：∵，可得，解得，

；

（3）設直線，

可得原點O到直線的距離，

所以直線是圓的切線，切點為M，

所以，并設，與圓聯立可得，

所以得，即，

直線的斜率為，雙曲線的漸近線方程為,

所以直線與雙曲線的斜率為負值的漸近線平行，

所以只有當時，直線才能與曲線有兩個交點，

由，得，

所以有，得，

又因為： ，

所以.