Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E，F分別在，，且，.設(shè).

（1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的大小；

（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）60°（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面ABC，AC，建立分別以AB，AC，為軸的空間直角坐標(biāo)系，利用法向量能求出異面直線AE與所成角．
（2）推導(dǎo)出平面的法向量和平面的一個(gè)法向量，由平面平面，能求出的值．

解：因?yàn)橹比�棱�?/span>，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以，，

又因?yàn)?/span>，

所以建立分別以，，為軸的空間直角坐標(biāo)系.

（1）設(shè)，則，，

各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，.

，.

因?yàn)?/span>，，

所以.

所以向量和所成的角為120°，

所以異面直線與所成角為60°；

（2）因?yàn)?/span>，，

，

設(shè)平面的法向量為，

則，且.

即，且.

令，則，.

所以是平面的一個(gè)法向量.

同理，是平面的一個(gè)法向量.

因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以，

，

解得.

所以當(dāng)平面平面時(shí)，.