Question

設函數，。

（1）當時，求的單調區間；

（2）（i）設是的導函數，證明：當時，在上恰有一個使得；

（ii）求實數的取值范圍，使得對任意的，恒有成立。

注：為自然對數的底數。

 

Answer 1

【答案】

（1）的減區間是；增區間是 

（2）在上恰有一個使得.

（ⅱ）。

【解析】

試題分析：（1）當時，   1分

當時，；當時，

所以函數的減區間是；增區間是      3分

（2）（ⅰ）   4分

當時，；當時，

因為，所以函數在上遞減；在上遞增    6分

又因為，

所以在上恰有一個使得.    8分

（ⅱ）若，可得在時，，從而在內單調遞增，而，

，不符題意。       

由（ⅰ）知在遞減，遞增，

設在上最大值為則，

若對任意的，恒有成立，則，    11分

由得，，

又，。    13

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性、最值，恒成立問題。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，首先通過求導數，研究導數值的正負情況，確定函數單調區間。應用同樣的方法，研究函數圖象的形態，明確方程解的情況。作為“恒成立問題”往往轉化成求函數的最值。