Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，，，，分別為線段，上的點，且，.

（1）證明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）證明BC⊥平面SAC，即可推出SC⊥平面ABC，從而得到MN⊥平面SCM，即可證明MN⊥SM．（2）以C為原點，以，，為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面SAM和平面SMN的法向量，利用空間向量的夾角的余弦，求解二面角A﹣SM﹣N的余弦值．

（1）證明：由，，且，則平面，

平面，故，又，，則平面，

平面，故.

因為，，所以，故.

又因為，所以平面.

又平面，則.

（2）解：由（1）知，，，兩兩相互垂直，

如圖是以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，

則，，，，，

，，.

設平面的法向量為，則

，令，得.

設平面的法向量為，

則，令，則，，故.

所以，

由圖可知二面角為鈍角，

故二面角的余弦值為.