Question

【題目】已知橢圓：和圓：，，為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，當直線與圓相切時，.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直線：與軸交于點，且與橢圓和圓都相切，切點分別為，，記和的積分別為和，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

(I) 由題意可得，設，運用直線和圓相切的條件，可得，結合a，b, c的關系，解得a, c,進而得到橢圓方程；

（Ⅱ）設，，將代入，結合直線和橢圓相切的條件判別式為0，解得M的坐標，可得的面積，再由直線和圓相切的條件，解方程可得N的坐標，求得Q的坐標，計算的面積為,求得的表達式，化簡后運用基本不等式即可得證.

（Ⅰ）由題可知. ①

設，則由與圓相切時得，即. ②

將①②代入解得.

所以的方程為.

（Ⅱ）設，，

將代入得，

由直線與橢圓相切得即，且

，

則的面積.

由直線與圓相切，設：，與聯立得

.

直線：與軸交于點，則.

則的面積，

從而.（當且僅當時等號成立），

所以的最小值為.