Question

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經過點，過點P（2，1）的直線與橢圓C在第一象限相切于點M ．

   （1）求橢圓C的方程；

   （2）求直線的方程以及點M的坐標；

   （3） 是否存過點P的直線與橢圓C相交于不同的兩點A、B，滿足？若存在，求出直線l₁的方程；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

，，

【解析】解（Ⅰ）設橢圓C的方程為，由題意得

       解得，故橢圓C的方程為．……………………4分

   （Ⅱ）因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調直線l的議程為

       由                                得．①

       因為直線與橢圓相切，所以

       整理，得                          解得

       所以直線l方程為

       將代入①式，可以解得M點橫坐標為1，故切點M坐標為……8分

   （Ⅲ）若存在直線l₁滿足條件，的方程為，代入橢圓C的方程得

      

       因為直線l₁與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為

       所以

       所以．

       又，

       因為即，

       所以．

       即

       所以，解得  因為A，B為不同的兩點，所以．

       于是存在直線₁滿足條件，其方程為………………………………12分