Question

【題目】已知F為拋物線的焦點，過F的動直線交拋物線C于A，B兩點.當直線與x軸垂直時，.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線AB與拋物線的準線l相交于點M，在拋物線C上是否存在點P，使得直線PA，PM，PB的斜率成等差數列？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）求出拋物線的焦點坐標，根據題意，令，求出縱坐標的值，再根據進行求解即可；

（2）設直線的方程,與拋物線方程聯立，求出直線PA，PM，PB的斜率表達式，結合等差數列和一元二次方程根與系數關系，得到一個等式，根據等式成立進行求解即可.

解：（1）因為，在拋物線方程中，令，可得，

所以當直線與軸垂直時，解得，

拋物線的方程為.

（2）不妨設直線的方程為，

因為拋物線的準線方程為，所以.

聯立消去，得，

設，，則，，

若存在定點滿足條件，則，

即，

因為點均在拋物線上，所以.

代入化簡可得，

將，代入整理可得

，即，

因為上式對恒成立，所以，解得，

將代入拋物線方程，可得，

于是點即為滿足題意的定點.