Question

已知常數a、b都是正整數，函數f(x)=

x

bx+1

（x＞0），數列{a_n}滿足a₁=a，

1

an+1

=f(

1

an

)（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若a=8b，且等比數列{b_n}同時滿足：①b₁=a₁，b₂=a₅；②數列{b_n}的每一項都是數列{a_n}中的某一項．試判斷數列{b_n}是有窮數列或是無窮數列，并簡要說明理由；
（3）對問題（2）繼續探究，若b₂=a_m（m＞1，m是常數），當m取何正整數時，數列{b_n}是有窮數列；當m取何正整數時，數列{b_n}是無窮數列，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由

1

an+1

=f(

1

an

)=

1 an

b 1 an +1

=

1

an+b

可得a_n+1=a_n+b，，從而可證數列{a_n}是以b為公差的等差數列，進而可求通項
（2）當a=8b時，可得a_n=（n+7）b，則b₁=8b，b₂=12b，則有q=

3

2

，可求bn=8b•(

3

2

)n-1，由b₃=18b，b₄=27b，b5=

81

2

b可得b₅∉{a_n
從而可判斷
（3）由b₂=（m+7）b，可得q=

m+7

8

，此時bn=8(

m+7

8

)n-1b
分別就進行討論（i）當m=8k+1（k∈N）時，

m+7

8

=k+1為正整數，（ii）當m=8k+5（k∈N）時，

m+7

8

=

2k+3

2

（iii）當m=8k+2，+3，+4，+6，+7，+8（k∈N）

解答：解：（1）∵

1

an+1

=f(

1

an

)=

1 an

b 1 an +1

=

1

an+b

∴a_n+1=a_n+b，∴數列{a_n}是以b為公差的等差數列
∵a₁=a，∴a_n=a+（n-1）b
（2）當a=8b時，a_n=（n+7）b
∴b₁=8b，b₂=12b，∴q=

3

2

，∴bn=8b•(

3

2

)n-1
∴b₃=18b，b₄=27b，b5=

81

2

b
顯然，

81

2

不是整數，即b₅∉{a_n}，∴{b_n}是項數最多為4的有窮數列
（3）∵b₂=（m+7）b，∴q=

m+7

8

，此時bn=8(

m+7

8

)n-1b
i）當m=8k+1（k∈N）時，

m+7

8

=k+1為正整數，
此時{b_n}中每一項均為{a_n}中的項，∴{b_n}為無窮數列；
ii）當m=8k+5（k∈N）時，

m+7

8

=

2k+3

2

此時當n=1，2，3，4，8(

2k+3

2

)n-1為大于8的正整數，
但n=5時，8(

2k+3

2

)4不是正整數，∴此時{b_n}是項數最多為4的有窮數列；
iii）當m=8k+2，+3，+4，+6，+7，+8（k∈N）時，
此時

m+7

8

為分母是4或8的最簡分數，
只有當n=1，2時，8(

2k+3

2

)n-1才是大于8的正整數，
而當n≥3時，8(

2k+3

2

)n-1均為分數，∵{b_n}僅有兩項，∴此時{b_n}不能構成等比數列．

點評：本題主要考查了等差數列的及等比的項公式及數列知識的綜合應用，解題的關鍵是考試具備一定的邏輯推理與計算的能力．