Question

設函數f（x）=-axⁿ（x-1）+b（x＞0），n為正整數，a，b為常數．曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=1．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）證明：f(x)＜

1

ne

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f'（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=1，故f'（1）=-1，f（1）=0，則f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，由此能求出函數f（x）的最大值．
（Ⅱ）欲證明f（x）＜

1

ne

成立，只需證：f（x）≤

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

，即證ln（

n+1

n

）＞

1

n+1

，對于函數h（t）=lnt-1+

1

t

（t＞0），故h′(t)=

t-1

t2

，由此能夠證明f(x)＜

1

ne

．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）=-axⁿ（x-1）+b=axⁿ-axⁿ⁺¹，
∴f'（x）=nax^n-1-（n+1）axⁿ，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=1，
則f'（1）=-1，f（1）=0，
∴a=1，b=0．
則f（x）=xⁿ-xⁿ⁺¹，
故f′(x)=-(n+1)xn(x-

n

n+1

)，
令f'（x）=0，得x=

n

n+1

，
當x∈(0，

n

n+1

)，f′(x)＞0，當x∈(

n

n+1

，+∞)，f′(x)＜0，
故函數f（x）在(0，

n

n+1

)上單調遞增；在(

n

n+1

，+∞)上單調遞減，
∴f（x）在（0，+∞）上最大值為f(

n

n+1

)=(

n

n+1

)n(1-

n

n+1

)=

nn

(n+1)n+1

．
（Ⅱ）證明：欲證明f（x）＜

1

ne

成立，
只需證：f（x）≤

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

，
即證：（

n+1

n

）ⁿ⁺¹＞e，
即ln（

n+1

n

）ⁿ⁺¹＞lne，
即證ln（

n+1

n

）＞

1

n+1

，
對于函數h（t）=lnt-1+

1

t

（t＞0），
∴h′(t)=

t-1

t2

，
當t∈（0，1）時，h′（t）＜0；當t∈（1，+∞）時，h′（t）＞0．
∴h（t）在（0，+∞）上的最小值為h（1）=0，
故h（t）＞0，即h（t）＞1-

1

t

成立．
令t=

n+1

n

，ln（

n+1

n

）＞1-

1

n+1 n

=

1

n+1

成立，
∴f(x)＜

1

ne

．

點評：本題考查函數的最大值的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的性質和應用，合理地運用等價轉化思想進行求解．