Question

【題目】已知函數，且.

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）若對任意，都有，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明函數的圖象在圖象的下方.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求函數的導數得，由求出的值即可得到函數的解析式；（Ⅱ），構造函數，則，求函數導數，利用導數求函數即可；（Ⅲ）“函數的圖象在圖象的下方”等價于“恒成立”，由（Ⅱ）可得即，所以只要證即，構造函數，證明在區間上，即可.

試題解析： （Ⅰ）易知，所以，又………………1分

∴……………………………2分

∴.…………………………3分

（Ⅱ）若對任意的，都有，

即恒成立，即：恒成立………………4分

令，則，…………………………6分

當時，，所以單調遞增；

當時，，所以單調遞減；……………………8分

∴時，有最大值，

∴，即的取值范圍為.…………………………10分

（Ⅲ）要證明函數的圖象在圖象的下方，

即證：恒成立，

即：………………………11分

由（Ⅱ）可得：，所以，

要證明，只要證明，即證：………………12分

令，則，

當時，，所以單調遞增，

∴，

即，……………13分

所以，從而得到，

所以函數的圖象在圖象的下方.…………14分