Question

如圖，已知雙曲線C₁：

y2

m

-

x2

n

=1（m＞0，n＞0），圓C₂：（x-2）²+y²=2，雙曲線C₁的兩條漸近線與圓C₂相切，且雙曲線C₁的一個頂點A與圓心C₂關于直線y=x對稱，設斜率為k的直線l過點C₂．
（1）求雙曲線C₁的方程；
（2）當k=1時，在雙曲線C₁的上支上求一點P，使其與直線l的距離為2．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線的漸近線為y=±

m n

x，由雙曲線C₁的兩漸近線與圓C₂：（x-2）²+y²=2相切及由A（0，

m

）與圓心C₂（2，0）關于直線y=x對稱，求出m，n的值，從而能求出雙曲線的方程．
（2）當k=1時，由l過點C₂（2，0）知直線l的方程，設雙曲線C₁上支上一點P（x₀，y₀）到直線l的距離為2，建立關于點P坐標的方程組，由此能求出P點的坐標．

解答：解：（1）雙曲線C₁的兩條漸近線方程為：
y=±

m n

x，頂點A為（0，

m

）
∵雙曲線C₁的兩漸近線與圓C₂：（x-2）²+y²=2相切
∴

|±2 m n |

1+ m n

=

2

即

2m

m+n

=1                  ①
又∵A（0，

m

）與圓心C₂（2，0）關于直線y=x對稱
∴

m

=2                    ②
由①、②解得：m=n=4
故雙曲線C₁的方程為：y²-x²=4
（2）當k=1時，由l過點C₂（2，0）知：
直線l的方程為：y=x-2
設雙曲線C₁上支上一點P（x₀，y₀）到直線l的距離為2，則
y₀²-x₀²=4，且

|x0-y0-2|

2

=2，
又∵點P（x₀，y₀）在雙曲線C₁的上支上，故y₀＞0
解得：x₀=2，y₀=2

2

．
故點P的坐標為（2，2

2

）．

點評：本題考查軌跡方程的求法和已知k的值及此時P點的坐標．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用雙曲線的性質，合理地進行等價轉化．