Question

【題目】已知函數.

（1）若，，并且函數在實數集上是單調增函數，求實數的取值范圍；

（2）若，，，求函數在區間上的值域；

（3）若，都不為0，記函數的圖象為曲線，設點，是曲線上的不同兩點，點為線段的中點，過點作軸的垂線交曲線于點.試問：曲線在點處的切線是否平行于直線？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當的值域是，當的值域是，當的值域是；（3）曲線在點處的切線不平行于直線，理由詳見解析.

【解析】

（1）只需在上恒成立，根據二次函數根的判別式，即可求解；

（2）求導，對分類討論，求出在單調性，進而求出極值最值，即可得出結論；

（3）由已知得到點坐標，由兩點式求出的斜率，再由導數得到曲線在處的斜率，由斜率相等，設，得到，令，后構造函數，判斷是否存在零點，即可得出結論.

（1），

當時，，

函數在實數集上是單調增函數，

在上恒成立，

，

實數的取值范圍；

（2）當，，時，

，

當，

單調遞增，

單調遞減，

當，，

，當，

，

當，

綜上，當的值域是，

當的值域是，

當的值域是；

（3），都不為0時，點橫坐標為

函數，

，曲線在處的切線斜率為

，

直線的斜率為，

則

，

假設曲線在點處的切線平行于直線，則，

即，

不妨設，則，

令，

時恒成立，

所以在上是增函數，又，

，即在上不成立，

曲線在點處的切線不平行直線.