Question

【題目】已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0相交于M、N兩點

（1）求實數k的取值范圍；

（2）求證：為定值；

（3）若O為坐標原點，問是否存在直線l，使得，若存在，求直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析； （3）不存在，見解析.

【解析】

(1)設直線的方程為,再聯立圓的方程,令二次方程的判別式大于0即可求解.

(2)設M（x1,y1）,N（x2,y2）,聯立直線與圓的方程,再表達出,代入韋達定理化簡消去即可.

(3)聯立直線與圓的方程,再利用求得,判斷是否滿足的取值范圍即可.

（1）直線l的方程為y＝kx+1,

代入圓的方程可得：x2+（kx+1）2﹣4x﹣6（kx+1）+12＝0,

化簡得：（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0,

∵直線l與圓有兩個交點,∴△＝16（k+1）2﹣28（1+k2）＞0,即3k2﹣8k+3＜0,

解得：．

（2）設M（x1,y1）,N（x2,y2）,則（x1,y1﹣1）,（x2,y2﹣1）,

∴x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1,

由（1）可知x1x2,x1+x2,

∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1,

y1+y2＝kx1+1+kx2+1＝k（x1+x2）+2,

∴x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+17,即為定值．

（3）若8,則x1x2+y1y2＝8,即1＝8,

∴0,即k＝0或k＝﹣1．

由（1）可知k＞0,故不存在直線l,使得8．