Question

球面上有三個點A、B、C組成球的一個內接三角形，若AB=18，BC=24，AC=30，且球心到△ABC所在平面的距離等于球半徑的

1

2

，那么這個球的表面積是

1200π

．

Answer 1

分析：由已知，易得三角形ABC是直角三角形，AC是斜邊，設中點為M，則過A，B，C的截面圓心為M，OA=OB=OC是半徑，求出OM，利用球半徑是球心O到平面ABC的距離的2倍，求出半徑，即可求出球O的表面積．

解答：解：球面上三點A、B、C，平面ABC與球面交于一個圓，三點A、B、C在這個圓上
∵AB=18，BC=24，AC=30，
AC²=AB²+BC²，∴AC為這個圓的直徑，AC中點M圓心
球心O到平面ABC的距離即OM=球半徑的一半=

1

2

R
△OMA中，∠OMA=90°，OM=

1

2

R，AM=

1

2

AC=30×

1

2

=15，OA=R
由勾股定理（

1

2

R）²+15²=R²，

3

4

R²=225
解得R=10

3

球的表面積S=4πR²=1200π
故答案為：1200π．

點評：本題考查空間想象能力，計算能力，根據球的截面圓的性質，確定三角形ABC的形狀以及利用球半徑是球心O到平面ABC的距離的2倍，是解好本題是前提．