Question

【題目】函數，，.

（1）設，假設在上遞減，求的取值范圍；

（2）假設，求證：.

（3）是否存在實數，使得恒成立，假設存在，求出的取值范圍，假設不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在實數

【解析】

（1）由在遞減，得在恒成立， ，即可得到本題答案；

（2）要證明時，，只需證明當，，算出的最小值和的最大值，即可得到本題答案；

（3）分和考慮的最小值，即可得到本題答案.

（1），，

由在遞減，得在恒成立，所以，

即，而，當且僅當時，等號成立，因此，

即的取值范圍是；

（2）要證明時，，只需證明當，，

當時，，，令，得

當時，，遞減，

當時，，遞增，

因此，

，令，解得

當時，遞增，當時，遞減，因此，而，，因此成立，即時，；

（3），，

①當時，，在上遞減，因此

假設恒成立，那么，即，與矛盾；

②當時，令，得.

1.當時，即，當時，遞減，當時，遞增，因此，當時，取到唯一的極值，又是極小值，因此.

假設恒成立，即，解得.

2.當時，即，當時，遞減，因此，

假設恒成立，那么，即，與矛盾.

綜上，存在實數，使得恒成立.